Introduzione alla matematica e terminologia

• Gli S-Box sono stati definiti dal giorno 0 con una struttura matematica sottostante ben definita, differenza enorme con DES.
• Lavoriamo su una struttura matematica che prende il nome di campo, in particolare il Campo di Galois.

<aside> 💡 Piccolo riassunto di 101 pagine sui campi ecc..

Campi.pdf

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Campo Di Galois

• Sono necessari due elementi:

  • p numero primo
  • $n\in\N,n\ge0$

• il campo avrà un numero di elementi pari a $|F|=p^n=2^8$

• prendiamo un polinomio $m(x)$ con grado $m$ definito nel seguente modo:

  $Z_p[x]\;mod\;m(x)$ che è comunque un anello finito

• ma noi cerchiamo un campo quindi ci serve prendere

  $Z_p[x]\;mod\;m(x)$ con m irriducibile

• lavoreremo quindi su un campo chiamato campo di Galois, $GF(2^8)$, ovvero su tutti i polinomi irriducibili di grado 8 con coefficenti in $\Z_2$

• In tutto ce ne sono ben 30, e si sceglie ovviamente quel polinomio che permette di velocizzare i conti.

S BOX

• L’SBOX è una matrice 16x16
• Ogni elemento della tabella viene sostituito con un numero, ad esempio il numero 2a è sostituito dal numero 95.
• Per farlo:
  • si prende il numero nella cella
  • si calcola l’inverso moltiplicativo del polinomio sul campo di Galois
  • dopo averlo ottenuto si tiene da parte in un vettore tutti i coefficienti
  • si prende poi il vettore e lo si moltiplica per un’opportuna matrice
  • successivamente si aggiunge una particolare costante
  • quello che si ottiene lo si andrà a sostituire alla cella corrispondente.
• Il contenuto del vettore [s0,… ,s7] è l’output dell’S-Box, ovvero il contenuto di una cella dell’S-Box.
• l contenuto del vettore [b0,…,b7] è l’inverso moltiplicativo della cella originale.
• Dentro una costante è presente un numero a caso, perchè, per esempio, per la cella 00 il suo inverso moltiplicativo è pari a 0, quindi non ci sarebbe alcuna trasformazione, e questo sarebbe un aiuto troppo grosso per l’attaccante.
• Il contenuto del vettore [11000110] è la costante da sommare alla fine.